折れ線近似で精度を上げて、最大誤差を±1 まで減らしたものです。

アルゴリズムは「マイコン系 プログラムのテクニック アルゴリズム」中の「6bit程度の精度のarctan」 （リンク先の少し下）を参考にしました。

$ y=0 $ なら 0、$ x=y $ なら 32 を返します。$ x=2y $ のとき $ \arctan(y/x)=\arctan(1/2)\fallingdotseq 0.4636 $ で、$ 128/\pi $ を掛けた値は約 18.9 なので 19 を返すことにし、

• $ x \geqq 2y $ : $ 38y/x $
  
• $ x \lt 2y $ : $ 26y/x+6 $
  

と分割して近似します。

C 言語版の関数 Atan2Sub2() を上記の式に置き換えます。ただし除算に四捨五入処理を加えてあります （分母と分子を 2 倍し、分子に x を加算）。

u8 Atan2Sub2(int y, int x) {
    y *= 2;
    if (x >= y) {
        return (u8)((38 * y + x) / (x * 2));
    } else {
        return (u8)((26 * y + x) / (x * 2) + 6);
    }
}

Z80 版は、

• atan2_small.z80s ：サイズ重視版（104Byte、平均 745clk くらい）
  
• atan2_speed.z80s ：速度重視版（164Byte、平均 547clk くらい）
  

を作りました。まずサイズ重視版の補足説明をします。

下記の部分で、命令の途中にジャンプしています。

	LD C,0C0H
	DJNZ _ATAN2_L2
	DB 01H,80H	; LD BC,xx80H
_ATAN2_L2:
	EX DE,HL

B が 0 のときは「C=0xc0、DE と HL を交換」、B が 1 のときは「C=0x80」になります。分岐を 1 回で済ませて、サイズを節約しています。

下記のコードは A=0x40-A です。

	CPL
	ADD A,41H

下記のコードは除算ですが、アルゴリズム 1 と違って CCF を実行せずに、最後に CPL でまとめて反転しています（ただし 0 のままにしておきたい上位ビットも反転するので、C レジスタの値で調整しています）。

	XOR A
_ATAN2_SUB2_L2:
	SBC HL,DE
	JR NC,_ATAN2_SUB2_L3
	ADD HL,DE
_ATAN2_SUB2_L3:
	ADC A,A
	ADD HL,HL
	DJNZ _ATAN2_SUB2_L2
	DEC A
	RRA
	CPL
	ADD A,C

除算処理の都合上、x, y の許容範囲は -2048～+2048 です。

次に速度重視版の補足説明をします。

速度を稼ぐため、AF' レジスタも使用しているので注意してください。AF' レジスタを破壊したくない場合は、

	EX AF,AF'
	CALL _ATAN2_SUB
	LD C,A
	EX AF,AF'
	ADD A,C

の部分を、

	PUSH AF
	CALL _ATAN2_SUB
	POP BC
	ADD A,B

とするといいでしょう（9clk 増加）。

除算には非回復法を使用し、さらにループ展開しています （非回復法のアルゴリズムについては省略しますが、 わかりやすい解説サイトは見つかりませんでした）。

除算処理の都合上、x, y の許容範囲は -1024～+1024 です。

速度最優先版で、最大誤差は±1 です。

アルゴリズムは 「8-bit atan2」を参考にしました。

まず正の数 $ x, y $ について、 $$ \log(y/x)=\log y-\log x より、\\ y/x=\exp(\log y-\log x) $$ が成り立ちます（$ \log $ は自然対数）。したがって、 $$ \arctan(y/x)=\arctan\{\exp(\log y-\log x)\} $$ なので、$ \log x $ と $ \arctan(\exp x) $ をテーブル化してしまえば、重たい除算をしなくて済みます。

問題は $ x $ や $ y $ が 0 の場合ですが、まず $ y=0 $ の場合は $ \arctan(y/x)=0 $ で、これは先に例外処理します。

そして $ x \geqq y $ の条件下では $ x=0 $ なら $ y=0 $ なので、こちらは考えなくて済みます。

C 言語版は省略します。Z80 版は atan2_table.z80s です。

エントリは _ATAN_8 と _ATAN_16 の 2 つがあります。_ATAN_8 の x, y は符号付き 8bit です。

_ATAN_16 の x, y は符号付き 16bit で、符号付き 8bit に収める処理（この処理は結構重たいです）をしてから _ATAN_8 へ移ります。下記のコードで、符号付き 8bit に収まっているかどうかの判定をしています。

	LD A,L
	ADD A,A
	SBC A,A
	CP H
	JR Z,_ATAN2_16_L3

2 つのテーブルのサイズは 128Byte ずつで、精度を確保するためにこれくらい必要でした。速度を稼ぐために、

	ALIGN 100H

というアセンブラ疑似命令で 256Byte 境界に置いています。

前半は $ \log x $ テーブルです。具体的には整数 $ x=1～128 $ について、$ 127\log_{128} x $ を四捨五入した値です（$ \log 1=0 $、$ \log_{n}n=1 $ に注目）。

後半は $ \arctan(\exp x) $ テーブルです。具体的には整数 $ x=-127～0 $ について、 $$ \frac{128}{\pi}\arctan\left\{ \exp\left(\frac{\log_{e}128}{127}x\right)\right\} $$ を四捨五入した値です（$ \exp -\infty=0 $、$ \exp 0=1 $ に注目）。

サイズと速度に関しては以下の通りです。

• _ATAN2_8：320Byte、平均 174clk くらい
  
• _ATAN2_16：360Byte、最大で 697clk くらい
  

_ATAN2_8 は _ATAN2_16 の前処理部分を削除した場合です。

_ATAN2_16 は x, y の絶対値が大きいほど遅くなるので注意してください。

各アルゴリズムの比較です。

用途によりますが、アルゴリズム 1 で事足りることが多いかと思います。精度や速度が求められる場合に、 他のアルゴリズムの採用を検討してください。

• atan2_z80_240319.zip（487,430 Bytes）
  作成した Z80 ソースの他、Z80 アセンブラ、Z80 エミュレータなどが入っています。
  詳しくはアーカイブ内の README.TXT を読んでください。
  

さて、ゲームで atan2 を使うのはどんなときかと言うと、 たとえば「狙った方向に弾を撃つ」というのがあります。C++ で書くと、

struct Vec2 {
	float x, y;
};

void Normalize(Vec2& v) {
	float angle = atan2(v.y, v.x);
	v.x = cos(angle);
	v.y = sin(angle);
}

こんな感じで弾の速度を一定にできます。cos, sin は sin テーブルを用意しておけば素早く求められますね （ただし弾の速度を変えたい場合、 乗算するかテーブルを複数用意する必要があります）。

では、Z80 ではなく今どきの CPU だとどうでしょうか。

void Normalize(Vec2& v) {
	float d = sqrt(v.x * v.x + v.y * v.y);
	if (d == 0.0f) {
		v.x = 1.0f;
		return;
	}
	v.x /= d;
	v.y /= d;
}

float で正確に求めるなら、この方が速そうです。Z80 で精度を落として計算する場合、この計算式だと工夫の余地が少なく、atan2 を使う方が都合が良いのです。

そんなわけで、今どきの CPU ではこの用途ではなく角度が必要なときに atan2 を使用すると思いますが、出番は少ないかもしれません。